Coincidências - 2ª Parte

por Bruce Martin



(Continuação)

Aniversários Coincidentes

Em uma seleção aleatória de 23 pessoas há 50% de chance de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia. Quem não fica surpreso ao ouvir isso pela primeira vez?

O cálculo é exato. Primeiro calculamos a probabilidade de todas as pessoas no grupo terem aniversários diferentes (X) e então subtraímos esta fração de 1 para obtermos a probabilidade de um aniversário comum no grupo (P), P = 1 – X.

Probabilidades variam de 0 a 1, ou podem ser expressas de 0% para 100%. Para não haver aniversários coincidentes, uma segunda pessoa tem uma escolha de 364 dias, uma terceira pessoa tem 363 dias, e a enésima pessoa tem (366 – n) dias. Assim a probabilidade para aniversários diferentes fica:


Com esses fatoriais a última equação não é especialmente útil a menos que se tenha a habilidade de calcular números grandes. Fica mais fácil usar um computador para calcular Xn da primeira igualdade para valores sucessivos de n. Quando n = 23, X = 0.493 e P = 0.507.

Um gráfico da probabilidade de pelo menos um aniversário em comum, P, versus o número de pessoas, n, aparece nas linhas pontilhadas logo abaixo. A curva mostra que a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia cresce lentamente, a princípio em menos de 12% com dez pessoas, aumentando para 50% de probabilidade no círculo aberto correspondente a vinte e três pessoas, "achatando" alcançando 90% de probabilidade em um grupo de quarenta uma pessoas. Isso significa que, na média, de dez grupos aleatórios de quarenta e uma pessoas, em nove deles pelo menos duas pessoas farão aniversário no mesmo dia. Nenhumas força misteriosa é necessária para explicar esta coincidência.


No gráfico acima a curva em linha pontilhada (à direita) representa a probabilidade de que em um grupo aleatório de pessoas pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia. A curva em linha contínua (à esquerda) será explicada logo mais abaixo.

Note que a probabilidade de aniversários coincidentes para 23 + 23 = 46 pessoas não é 100%, como alguns poderiam supor, mas 95% como mostrado pela curva à direita no gráfico acima. Estendendo a curva além do limite revela-se que cinqüenta e sete pessoas produzem 99% de probabilidade de aniversários no mesmo dia.

Aquela curva em linha contínua (à esquerda) no gráfico acima representa a probabilidade que em um grupo aleatório pelo menos duas façam aniversário dentro de um dia (período de 24 horas, isto é, mesmo dia e dois dias adjacentes). Esta condição é menos restritiva que a anterior, e 50% de probabilidade é conseguida com somente catorze pessoas.

Cavando um pouco mais fundo em alguns aspectos das probabilidades de aniversários idênticos chegamos a mais conclusões. Note que nós dissemos vários vezes "pelo menos duas pessoas" fazendo aniversário no mesmo dia. Conforme o tamanho de grupo aumenta as chances para coincidências múltiplas também aumentam. A curva que desce à esquerda no gráfico abaixo (pontilhada em preto) representa a probabilidade de nenhuma coincidências (NC) de aniversário, idêntico aos valores do Xn calculados acima. A primeira curva com um gráfico de máximo (bolinhas azuis) representa a probabilidade de somente um par de pessoas (1P) fazendo aniversário no mesmo dia. O máximo ocorre com vinte e oito pessoas, tendo uma probabilidade de quase 39%. Conforme o grupo aumenta, a probabilidade de outras coincidências também aumenta. A segunda curva com um máximo (de preto) representa a probabilidade de exatamente dois pares de pessoas (2P) fazendo aniversário no mesmo dia. Seu máximo ocorre com trinta e nove pessoas, com uma probabilidade de 28%. A última curva ascendendo no gráfico abaixo (pontilhada em azul) representa todas as outras probabilidades de coincidências (>2P), consistindo de três pares, três pessoas, quatro pares, etc. Em qualquer ponto do gráfico, as quatro curvas juntas totalizam 100% de probabilidade.


O gráfico logo acima mostra que para vinte e três pessoas as probabilidades são 36% para um par, 11% para dois pares, e 3% para o total de todas as outras coincidências para uma soma de probabilidades de 50%. Esses 50% são as chances de haver pelo menos um tipo de coincidência. Para vinte e três pessoas a probabilidade de nenhuma coincidência também é de 50%, como mostrada na curva que desce (NC) na Figura 2. Há uma quase interseção tripla com trinta e oito pessoas onde as probabilidades de 1 par idêntico, 2 pares idênticos, e o total de todas outras coincidências está em 28-29%. Para trinta e oito ou mais pessoas o total de todas outras coincidências torna-se maior que a probabilidade de um ou dois pares, e passa de 50% com quarenta e cinco pessoas. Em um grupo aleatório de mais de quarenta e cinco pessoas a maior probabilidade é de haver mais de duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia.

Esta série de cálculos serve para tirarmos uma conclusão: Se coincidências de datas de aniversários são muito mais comuns do que poderíamos imaginar, então provavelmente muitas daquelas outras coincidências em nossas vidas são muito mais fáceis de acontecer e não são tão fantásticas assim.

Nós não devemos multiplicar as hipóteses: o princípio da "Lâmina de Occam" declara que a explicação mais simples deve prevalecer.

Continua: Na próxima postagem desta série iremos ver como acontecimentos absurdamente improváveis podem acontecer a qualquer momento.