Coincidências - 4ª Parte

por Bruce Martin



(Continuação)

Jogadas de "Cara ou Coroa"

Que seqüência de caras (C) e coroas (O) você espera em vários lançamentos aleatórios de uma moeda? Nem todas caras, nem todas coroas, nem mesmo a seqüência alternada (OCOCOCOC), já que esta série é obviamente regular e não aleatória. Em uma seqüência aleatória nós esperamos que saia tanto caras quanto coroas. Nós podemos simular progressões de lançamentos de moeda com uma seqüência aleatória de números.

Até onde se sabe, os dígitos decimais do número irracional pi, que multiplica o diâmetro de um círculo para obter a circunferência, são aleatórios. Isto não significa que toda vez que pi é calculado dê um resultado diferente, mas significa que o valor de qualquer dígito é imprevisível a partir dos dígitos anteriores. Um exemplo de um padrão previsível é a seqüência de dígitos decimais na fração 1/7=0,142857142857142857. . . , onde há uma óbvia repetição de todos os seis dígitos decimais.

Os dígitos decimais de pi têm sido calculados para centenas de milhões de dígitos por computadores muito velozes, mas nós listamos aqui somente os primeiros 100 dígitos em quatro filas de 25 dígitos.

3,1415926535897932384626433
8327950288419716939937510
5820974944592307816406286
2089986280348253421170679

Há cinqüenta e um dígitos pares e quarenta e nove dígitos ímpares. Há quase uma distribuição igual quando os primeiros 100 dígitos decimais são divididos de outra maneira: quarenta e nove dígitos de 0 para 4 e cinqüenta e um dígitos de 5 para 9.

Sabendo que os dígitos decimais de pi são aleatórios, nós podemos simular uma seqüência aleatória de caras e coroas em lançamentos de moeda correspondendo dígitos pares para caras e dígitos ímpares para coroas. A seqüência de caras e coroas em 100 lançamentos com 25 lançamentos por linha torna-se:

OCOOOCCOOOCOOOOCOCCCCCCOO
COCOOOCCCCCOOOOCOOOOOOOOC
OCCCOOCOCCOCCOCOCOCCCCCCC
CCCOOCCCCCOCCCOOCCOOOCCOO

Observando a seqüência aleatória nós encontramos algumas regularidades, tal como a seqüência alterada de oito lançamentos de 63-68 (sublinhado). A probabilidade de uma seqüência alternada de 8 lançamentos é uma vez em 128 lançamentos (dois elevado à sétima potência). Há algumas seqüências longas só de caras e só de coroas. Há duas seqüências de 5 caras, uma seqüência de 6 caras, uma seqüência de 8 coroas, e uma seqüência surpreendente de 10 caras. Os dígitos decimais 69-78 de pi são todos pares (logo após os dígitos sublinhados). Uma seqüência de dez dígitos pares deveria ocorrer unicamente uma vez em 1.024 dígitos (dois elevado a décima potência). Ainda assim uma seqüência dessas ocorre nos primeiros oitenta dígitos.

Que temos aqui? Uma prova de que os dígitos decimais de pi não são aleatórios? Não, o que nós temos em vez disso, é uma demonstração de como sempre é possível combinar dados aleatórios para encontrar regularidades não determinadas anteriormente. Já que dez dígitos pares ocorrem dentro dos primeiros 100 dígitos decimais de pi, nós podemos (erradamente) pensar que seqüências como essa ocorrem freqüentemente. Na verdade outra seqüência de dez dígitos pares não ocorre outra vez nos primeiros 1.000 dígitos decimais de pi. Nos primeiros 1.000 dígitos uma seqüência única de dez dígitos ímpares ocorre de 411-420.

O ponto é que a própria natureza de aleatoriedade assegura que combinando dados randômicos chegamos a algum modelo, só que ele não foi especificado antes, é por acaso. Se alguém encontra um modelo combinando dados aleatórios, pode usar isto como uma hipótese para investigação de mais dados, mas nunca tirar uma conclusão geral disto. Em nosso exemplo nós descobrimos (mas não previmos) dez dígitos pares dentro dos primeiros 100 dígitos, mas isso não ocorre outra vez nos próximos 900 dígitos. Para confirmação de uma tendência, os dados de alvo devem ser previstos antes da análise dos dados. Se um modelo inesperado surge depois da análise dos dados, o modelo pode ser usado como uma hipótese para obter e analisar um conjunto inteiramente novo de dados.

A seqüência caras e coroas pode ser aplicada de outras maneiras. Considere um jogador de futebol que acerta 50% de seus passes ou um jogador de basquetebol que converte 50% de seus arremessos. Designe caras (C) para um passe certo ou um arremesso que se converte e coroa (O) para erro de passe ou de lançamento da bola de basquete. Você verá que há seqüências inteiras de "passes certos" (C) e outras de erros. Muitas das boas e más fases de jogadores se devem somente ao acaso, são aleatórias. O jogador "pé quente" é na maioria das vezes uma ilusão que aparece em dados aleatórios quando analisados sob o ponto de vista apaixonado de um torcedor.

Falando claramente, coincidências improváveis ocorrem todos os dias para todos, e essas coincidências são na maior parte o resultado do acaso. Se o conjunto de dados é bastante grande, coincidências com certeza vão aparecer, como demonstramos com os primeiras 100 dígitos decimais de pi. A probabilidade de saírem cinco caras seguidas em três lançamentos é de 3%, em 100 lançamentos a probabilidade torna-se 96%. Embora aplicado em um contexto diferente, a teoria de Ramsey (Scientific American, Julho 1990) declara que "Todo conjunto grande de números, pontos ou objetos, necessariamente contém um padrão altamente regular".

Concluindo: Não é preciso postular forças misteriosas para explicar coincidências.

Fim desta série.